Die drei Neuberg-Kreise
eines Dreiecks
von
Markus Heisss
Würzburg, Bayern
2019/2024
Stand: 3. Juni 2024
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Die folgenden Abbildungen dürfen vervielfältigt werden, aber ohne Veränderung!
Ein allgemeines Dreieck ABC besitzt drei Neuberg-Kreise,
über jeder Dreieckseite einen jeweils nach 'innen' hin.
(siehe Abb. weiter unten)
Die Bezeichnungen lauten entsprechend: a-, b-, und c-Neuberg-Kreis.
Der c-Neuberg-Kreis ist die Ortskurve des Eckpunktes C
über der Basis AB und einem gegebenen Brocard-Winkel ω.
Der Brocard-Winkel ω errechnet sich wie folgt:
Die drei Neuberg-Kreise eines Dreiecks berechnet und gezeichnet sehen dann z.B. wie folgt aus:
Abb. 01: Die drei Neuberg-Kreise eines Dreiecks
(Wie man sieht, ist der Brocard-Winkel im x und y enthalten.)
Für die schnelle Berechnung hier die Formeln zum kopieren:
Delta=1/4*SQRT(2*(a*a*b*b+b*b*c*c+c*c*a*a)-(a^4+b^4+c^4))
cotOmega=(a^2+b^2+c^2)/(4*Delta)
x=1/2*SQRT(cotOmega^2-3)
y=1/2*cotOmega
Es gibt aber auch noch das Neuberg-Dreieck und den Neuberg-Kreis:
Abb. 02: Neuberg-Dreieck und Neuberg-Kreis
Es ist möglich, über einer gegebenen Basis AB
sechs Dreiecke zu konstruieren, die direkt oder invers ähnlich zum Original-Dreieck sind.
Siehe nächste Abbildung:
Abb. 03: Sechs direkt oder invers ähnliche Dreiecke am c-Neuberg-Kreis
(... aus dem Englisch-sprachigen Geometrie-Klassiker:
Roger A. Johnson: 'Advanced Euclidean Geometry', S.289, Theorem 483)
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Es besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen den Neuberg-Kreisen
und den sogenannten McCay-Kreisen, nämlich der Faktor 3,
... wie aus der nachfolgenden Grafik an Hand des Schwerpunktes G
und des Eckpunktes C ersichtlich wird:
Abb. 04: Zusammenhang zwischen c-Neuberg- und c-McCay-Kreis
Und noch eine Beziehung:
Abb. 05: Tangenten und Kollinearitäten am c-Neuberg-Kreis
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Weitere Informationen zu den Neuberg-Kreisen (allerdings in englischer Sprache)
findet man hier: http://mathworld.wolfram.com/NeubergCircles.html
Viel interessanter sind jedoch die McCay-Kreise!
Eine Website dazu in deutscher Sprache:
https://mccay-kreise.jimdofree.com/
Übrigens: Die Kreise wurden entdeckt von Joseph Neuberg.
Mehr Infos zu seiner Person findet man hier: